Question

如圖1，已知E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接EF、FG、GH、HE．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形（提示：可連接AC或BD）；
（2）在電腦上用適當的應用程序畫出圖1，然后用鼠標拖動點D，當點D在原四邊形ABCD的內部，在原四邊形ABCD的外部時，圖1依次變為圖2、圖3．圖2、圖3中四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？選擇其中之一說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC，根據三角形中位線定理證得四邊形EFGH的對邊EF與GH平行且相等，然后由平行四邊形的判定定理推得結論；
（2）四邊形EFGH均為平行四邊形．以圖2為例進行證明．連接AC．證明思路同（1）．

解答：（1）證明：如圖1，連接AC，
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF是△ABC的中位線，GH是△DAC的中位線，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC；HG∥AC，HG=

1

2

AC．
∴EF

∥

.

GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）解：四邊形EFGH均為平行四邊形．
證明（以圖2為例）：連接AC．
在△BAC中，∵E、F分別為AB、BC的中點，∴EF∥AC，EF=

1

2

AC；
在△DAC中，∵G、H分別為AD、CD的中點，∴HG∥AC，HG=

1

2

AC．
∴EF平行且等于GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

點評：本題考查了平行四邊形的判定、三角形中位線定理．三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．