Question

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，
【操作1】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q．
在旋轉過程中，如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明．
【操作2】在旋轉過程中，如圖3，當時EP與EQ滿足怎樣的數量關系？，并說明理由．
【總結操作】根據你以上的探究結果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數量關系是什么？其中m的取值范圍是什么？（直接寫出結論，不必證明）m．

Answer 1

【答案】分析：（操作1）連接BE，根據已知條件得到E是AC的中點，根據等腰直角三角形的性質可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結論；
（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據兩個角對應相等證明△MEP∽△NWQ，發現EP：EQ=EM：EN，再根據等腰直角三角形的性質得到EM：EN=AE：CE；
（總結操作）根據（2）中求解的過程，可以直接寫出結果；要求m的取值范圍，根據交點的位置的限制進行分析．
解答：（操作1）EP=EQ，
證明：連接BE，根據E是AC的中點和等腰直角三角形的性質，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ，
在△BEP和△CEQ中
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ；

如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，
理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
如圖3，過E點作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，
∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°，
又∵∠EPB+∠MPE=180°，
∴∠MPE=∠EQN，
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，
∴=，
Rt△AME∽Rt△ENC，
∴=m=，
∴=1：m=，
EP與EQ滿足的數量關系式1：m，即EQ=mEP，
∴0＜m≤2+，（因為當m＞2+時，EF和變成不相交）；
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，主要考查學生運用定理進行推理的能力，證明過程類似．