Question

如圖11，已知○為坐標原點，∠AOB=30°,∠ABO=90°,且點A的坐標為(2,0).

【小題1】求點B的坐標
【小題2】若二次函數y=ax+bx+c的圖象經過A、B、O三點，求此二次函數的解析式；
【小題3】在(2)中的二次函數圖象的OB段(不包括點O、B)上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【小題1】()
【小題2】y=x²+x.
【小題3】()，解析:
(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則  OD=，BD=，∴點B的坐標為() .
(2) 將A(2,0)、B ()、O(0,0)三點的坐標代入y=ax²+bx+c，得
解有a=，b=，c="0." ∴所求二次函數解析式是 y=x²+x.
(3) 設存在點C (x , x²+x) (其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大.
∵△OAB面積為定值，
∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大.
過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則
S_△OBC= S_△OCF +S_△BCF==，
而 |CF|=y_C-y_F=，
∴ S_△OBC= .
∴當x=時，△OBC面積最大，最大面積為.
此時，點C坐標為()，四邊形ABCO的面積為.