Question

己知：二次函數y＝ax²＋bx＋6(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x²－4x－12＝0的兩個根．

(1)請直接寫出點A、點B的坐標．

(2)請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點坐標．

(3)如圖1，在二次函數對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

(4)如圖2，連接AC、BC，點Q是線段0B上一個動點(點Q不與點0、B重合)．過點Q作QD∥AC交BC于點D，設Q點坐標(m，0)，當△CDQ面積S最大時，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)解一元二次方程x2－4x－12＝0可求A、B兩點坐標； 　　(2)將A、B兩點坐標代入二次函數y＝ax2＋bx＋6，可求二次函數解析式，配方為頂點式，可求對稱軸及頂點坐標； 　　(3)作點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接A，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，P點即為所求； 　　(4)由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據S△CDQ＝S△ABC－S△BDQ－S△ACQ，運用二次函數的性質求面積最大時，m的值． 　　解答：解：(1)A(－2，0)，B(6，0)； 　　(2)將A、B兩點坐標代入二次函數y＝ax2＋bx＋6，得 　　， 　　解得， 　　∴y＝－x2＋2x＋6， 　　∵y＝－(x－2)2＋8， 　　∴拋物線對稱軸為x＝2，頂點坐標為(2，8)； 　　(3)如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接A，交拋物線對稱軸于P點，連接CP， 　　∵C(0，6)， 　　∴(4，6)，設直線A解析式為y＝ax＋b，則 　　， 　　解得， 　　∴y＝x＋2，當x＝2時，y＝4， 　　即P(2，4)； 　　(4)依題意，得AB＝8，QB＝6－m，AQ＝m＋2，OC＝6，則S△ABC＝AB×OC＝24， 　　∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA， 　　∴＝()2＝()2， 　　即S△BDQ＝(m－6)2， 　　又S△ACQ＝AQ×OC＝3m＋6， 　　∴S＝S△ABC－S△BDQ－S△ACQ＝24－(m－6)2－(3m＋6)＝－m2＋m＋＝－(m－2)2＋6， 　　∴當m＝2時，S最大． 　　點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據已知條件求拋物線解析式，根據拋物線的對稱性，相似三角形的知識解題．

提示：

考點：二次函數綜合題．