Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的兩個頂點坐標分別為A（1，3），B（3，3），對角線的交點為M（1，2），AD與y軸的交點為N．

（1）求C、D點的坐標；

（2）求證：△BCN的面積是平行四邊形ABCD面積的一半；

（3）除了點N，坐標軸上是否存在點P，使△BCP的面積是平行四邊形ABCD面積的一半，若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) C（1，1），D（-1，1）;(2)見解析.(3) P點的坐標為（-2，0），（2，0）或（0，-2）

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出C，D兩點的坐標；

（2）分別表示出△BCN的面積，平行四邊形ABCD的面積，然后探究他們之間的大小關(guān)系；

（3）分三種情況進行分類討論，P在y負半軸，在x正半軸，x負半軸分別進行討論.

解：(1)∵A（1，3），B（3，3）, M（1，2）,

∴AB=2,AM=1，ABx軸，AM⊥x軸,

∴A,C,M三點的橫坐標相等為1，C,D兩點的縱坐標相等．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，M是平行四邊形對角線的交點，

∴CD=AB=2，CDAB，AM=CM=1

∴C點的縱坐標為3-2=1，D點的橫坐標為-1

∴C（1，1），D（-1，1）．

(2)設(shè)A點到BC的距離為h,則平行四邊形ABCD的面積為ABh.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ADBC

∴點N到BC的距離為h

∴△BCN的面積為BCh

∴△BCN的面積是平行四邊形ABCD面積的一半．

(3)根據(jù)平行線之間的距離相等，則延長AD交x軸與P1，有△BCP1的面積是平行四邊形ABCD面積的一半．

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,將A（1，3），D（-1，1）代入y=kx+b中，得

解得

∴直線AD的解析式為y=x+2

∴∠ADC=45°

當y=0時，x=-2

∴P1（-2，0）

當x=0時，y=2

∴N(0,2)

又∵C（1，1），D（-1，1），

∴NC=ND

∴∠NCD=∠ADC=45°

∴三角形NDC為等腰直角三角形，∠DNC=90°，∠ONC=45°

延長NC交x軸于點P2，則三角形NOP2是等腰直角三角形，所以OP2=ON=2

∴P2（2，0）

過P2作AD的平行線交y軸于P3，則P2 P3的解析式為y=x-2.

當x=0時，y=-2.

∴P3（0，-2）

則P點的坐標為（-2，0），（2，0）或（0，-2）時，△BCP的面積是平行四邊形ABCD面積的一半．