Question

如圖，在正九邊形ABCDEFGHI中，若AB+AC=3，則對角線AE=

3

．

Answer 1

分析：先由多邊形的內(nèi)角和定理，求出正九邊形內(nèi)角的度數(shù)，由圓周角定理可求出∠CAB=20°，連接AH，作HM，GN分別垂直AE于M，N，再求出△AHM中各角的度數(shù)，由正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答．

解答：解：∵正九邊形內(nèi)角和為（9-2）×180°=1260°，
∴每個內(nèi)角為140°，
又∵AB=BC，∠B=140°，
∴∠CAB=（180°-140°）÷2=20°，
連接AH，作HM，GN分別垂直AE于M，N．
∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°．
∴∠HAM=140°-2×20°-40°=60°，
∴∠AHM=30°，
設(shè)AM=EN=x，MN=y，
四邊形HGNM是矩形，所以HG=y，即正九邊形邊長為y，
在Rt△AHM中，∠AHM=30°，
∴AC=AH=2AM=2x，
∴AB+AC=y+2x，
∵AE=AM+MN+EN=2x+y，
∴AE=AB+AC=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查的是正多邊形和圓及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．