Question

如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF繞著邊AB的中點D旋轉，DE，DF分別交線段AC于點M，K．

【小題1】（1）觀察：①如圖2、圖3，當∠CDF=0°或60°時，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如圖4，當∠CDF=30°時，AM+CK______MK（只填“＞”或“＜”）；
【小題2】（2）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”），并說明理由；
【小題3】（3）如果MK²+CK²=AM²，請直接寫出∠CDF的度數和的值．

Answer 1

【小題1】（1）① =" " ………………………………………………………………………2分
② ＞  ………………
【小題2】（2）
＞………………………………………………………………………………………2分
理由：作點C關于FD的對稱點G，
連接GK，GM，GD，
則CD="GD" ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中點，∴AD=CD=GD．
∵30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，………………………………………………………………………3分
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．………………
【小題3】由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK²+CK²=AM²，∴MK²+GK²=GM²，∴∠GKM=90°，
又∵點C關于FD的對稱點G，∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，
又有（1），得∠A=∠ACD=30°，∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，
∴=∴=解析:
略