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(2009•聊城)如圖,⊙O是△ABC的內切圓,與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F,∠DEF=45度.連接BO并延長交AC于點G,AB=4,AG=2.
(1)求∠A的度數;
(2)求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)由于已知了∠DEF的度數,那么可連接OD,OF,那么∠DOF=2∠DEF=90°,根據AD,AF是圓的切線,那么OD⊥AB,OF⊥AC,由此可得出∠A的度數.
(2)根據(1)的結論我們不難得出ADOF是個正方形,那么OD=AD=AF=OF就都等于圓的半徑長,那么可用半徑表示出BD的長,根據OD∥AC,我們可以得出關于BD,AB,OD,AG的比例關系式.已知了AG,AB的長就能求出半徑的長了.
解答:解:(1)連接OD,OF,
∵⊙O是△ABC的內切圓,
∴OD⊥AB,OF⊥AC,又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°,
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°,
∴四邊形ADOF是矩形,
∴∠A=90°;

(2)設⊙O的半徑為r,
由(1)知四邊形ADOF是矩形,又OD=OF,
∴四邊形ADOF是正方形.
∴OD∥AC.
∴△BOD∽△BGA.


解得r=
∴⊙O的半徑為
點評:本題考查了切線的性質,圓周角定理,相似三角形等知識點綜合應用.根據圓周角定理和切線的性質得出ADOF是正方形是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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A.-2<x<1
B.0<x<1
C.x<-2和0<x<1
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B.0<x<1
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A.
B.
C.
D.

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