Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經過點A（﹣3，0）和點B（3，2），與y軸相交于點C．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）點P是拋物線在第一象限內一點，聯結AP，如果點C關于直線AP的對稱點D恰好落在x軸上，求直線AP的截距；

（3）在（2）小題的條件下，如果點E是y軸正半軸上一點，點F是直線AP上一點．當△EAO與△EAF全等時，求點E的縱坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或3﹣6

【解析】

（1）把和點代入拋物線的解析式，列方程組，可得結論；

（2）如圖1，根據對稱的性質得，可得，設，則，在中，根據勾股定理得，列方程可得結論；

（3）分兩種情況：先說明是直角三角形，所以也是直角三角形，根據，畫圖，由勾股定理列方程可解答．

解：（1）拋物線過點和點，

，

解得，

；

（2）如圖1，連接，，

點關于直線的對稱點，

，

與軸交于點，與軸交于點，

，

，

點，

設直線與軸交于點，則，

設，則，

在中，，

，

，

直線的截距為；

（3）點是軸正半軸上一點，

是直角三角形，且

當與全等時，存在兩種情況：

①如圖2，當，，

，

，，

，

，

由（2）知：，

，

中，，

，

解得：或（舍，

點的縱坐標是；

②如圖3，當，，

，，

中，，

，，

中，由勾股定理得：，

，

解得：，

點的縱坐標是；

綜上，點的縱坐標是或．