Question

如圖①，正方形ABCD的頂點A,B的坐標分別為，頂點C,D在第一象限．點P從點A出發，沿正方形按逆時針方向勻速運動，同時，點Q從點E(4,0)出發，沿x軸正方向以相同速度運動．當點P到達點C時，P,Q兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）求正方形ABCD的邊長．

（2）當點P在AB邊上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求P,Q兩點的運動速度．

（3）求（2）中面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數關系式及面積取最大值時點的坐標．

（4）若點P,Q保持（2）中的速度不變，則點P沿著AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間的增大而減小．當點沿著這兩邊運動時，使∠OPQ=90°的點有　　　　　個．

Answer 1

解：（1）作BF⊥y軸于F。

因為A（0，10），B（8，4）

所以FB=8，FA=6

所以

（2）由圖2可知，點P從點A運動到點B用了10秒。

又因為AB=10，10÷10=1

所以P、Q兩點運動的速度均為每秒1個單位。

（3）方法一：作PG⊥y軸于G

則PG//BF

所以，即

所以

所以

因為OQ=4+t

所以

即

因為

且

當時，S有最大值。

方法二：當t=5時，OG=7，OQ=9

設所求函數關系式為

因為拋物線過點（10，28），（5，）

所以

所以

所以

因為

且

當時，S有最大值。

此時

所以點P的坐標為（）。

（4）當點P沿AB邊運動時，∠OPQ由銳角→直角→鈍角；當點P沿BC邊運動時，∠OPQ由鈍角→直角→銳角（證明略），故符合條件的點P有2個。