Question

已知：反比例函數的圖象在第一象限的分支上有n個點A₁（1，y₁），A₂（2，y₂），…，A_n（n，y_n），設直線A₁A₂的解析式為y=k₁x+b₁，A₂A₃的解析式為y=k₂x+b₂，…，A_nA_n+1的解析式為y=k_nx+b_n．
（1）當m=1時，k₁=______；
（2）當m=1時，k₁+k₂+k₃=______；
（3）①當m=2時，求k₁+k₂+k₃+…+k₂₀的值，并寫出求解過程．
     ②用m、n表示k₁+k₂+k₃+…+k_n的值（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由反比例函數的解析式y=可確定點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，），再把它們代入y=k₁x+b₁得到k₁+b₁=1①，2k₁x+b₁=②，然后用②-①可求得k₁=-1=-；
（2）當m=1時，反比例函數的解析式為y=，可確定點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，），點A₃的坐標為（3，），點A₄的坐標為（4，），與（1）一樣得到k₂=-，k₃=-，易得到k₁+k₂+k₃的值；
（3）①當m=2時，反比例函數的解析式為y=，先確定點A₁坐標為（1，2），點A₂坐標為（2，），點A₃的坐標為（3，），點A₄的坐標為（4，），…，點A₂₀坐標為（20，），點A₂₁坐標為（21，），仿照（1）得到k₁=-，k₂=-，k₃=-，…，k₂₀=-，則k₁+k₂+k₃+…+k₂₀=-+-+-+…+-，然后進行加減運算即可；
②先得到點A₁坐標為（1，m），點A₂坐標為（2，），點A₃的坐標為（3，），點A₄的坐標為（4，），…，點A_n坐標為（n，），點A_n+1坐標為（n+1，），再同樣可得到k₁=-m，k₂=-，k₃=-，…，k_n=-，則k₁+k₂+k₃+…+k_n=-m+-+-+…+-，然后進行分式的加減運算即可．
解答：解：（1）當m=1時，反比例函數的解析式為y=，
∴點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，），
把點A₁（1，1），點A₂（2，）代入y=k₁x+b₁得
k₁+b₁=1①，
2k₁x+b₁=②
∴②-①得k₁=-1=-；
故答案為-；

（2）當m=1時，反比例函數的解析式為y=，
點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，），點A₃的坐標為（3，），點A₄的坐標為（4，），
與（1）一樣，k₂=-，k₃=-，
∴k₁+k₂+k₃=-1+-+-=-1+=-；
故答案為-；

（3）①當m=2時，反比例函數的解析式為y=，
∴點A₁坐標為（1，2），點A₂坐標為（2，），點A₃的坐標為（3，），點A₄的坐標為（4，），…，點A₂₀坐標為（20，），點A₂₁坐標為（21，），
與（1）一樣，k₁=-，k₂=-，k₃=-，…，k₂₀=-，
∴k₁+k₂+k₃+…+k₂₀=-+-+-+…+-=-2+=-；
②點A₁坐標為（1，m），點A₂坐標為（2，），點A₃的坐標為（3，），點A₄的坐標為（4，），…，點A_n坐標為（n，），點A_n+1坐標為（n+1，）．
與（1）一樣，k₁=-m，k₂=-，k₃=-，…，k_n=-，
∴k₁+k₂+k₃+…+k_n=-m+-+-+…+-=-m+=-．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，則點的坐標滿足其解析式；運用待定系數法求函數的解析式；熟練掌握分數與分式的運算．