Question

已知：如圖1，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=120°，對角線相交于O．點P是AB邊上一個動點，它從A點出發，以每秒1個長度單位的速度向B點移動，E是OD的中點，連接PE并延長，交CD于F，過點P作PQ⊥BC于Q，連接PEDP、DQ，設移動時間為t（s），DF的長為z，△DPQ的面積為S．
（1）寫出使△DEF∽△BEF的條件：

∠DEF=∠BEP，∠FDE=∠EBP

；
（2）求z關于t的函數關系式；
（3）求S關于t的函數關系式，并求出t為何值時，S最大？最大值是多少？
（4）以O為坐標原點，菱形ABCD的對角線所在的直線為坐標軸建立直角坐標系（如圖2），直線EQ與x軸的交點為G，當t=2（s）時，①求直線EQ的函數解析式；②求△EOG的外接圓的面積．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形的判定求出即可；
（2）求出PB、BQ，根據△DEF∽△BEP，得出比例式，代入求出即可；
（3）根據S=S_△DPB+S_△DBQ-P_△PBQ和三角形的面積公式代入求出即可，根據二次函數的頂點式，求出最大值即可；
（4）求出E、G的坐標，用待定系數法求出直線ED即可；根據直線EG的解析式求出與x軸的交點坐標，根據勾股定理求出EG即可．

解答：（1）解：故答案為：∠DEF=∠BEP，∠FDE=∠PBE．

（2）解：由已知條件得知：PB=6-t，BQ=3-

1

2

t，
由△DEF∽△BEP，
∴

DF

PB

=

DE

EB

=

1

3

，
x=

1

3

PB=

1

3

（6-t）=-

1

3

t+2．

（3）解：S=S_△DPB+S_△DBQ-P_△PBQ，
=

1

2

（6-t）•6sin60°+

1

2

（3-

1

2

t）•6sin60°-

1

2

（3-

1

2

t）（6-t）sin60°，
=-

3

8

t²-

3 3

4

t+9

3

．
∵t≥0，
∴當t=0時，S最大，最大值是9

3

．

（4）解：①OD=6sin60°=3

3

，
∴E的坐標是（0，

3 3

2

）；
當t=2秒時，BQ=2，Q的坐標是（1，-2

3

）；
設直線EG的解析式是y=kx+b，
把E、G的坐標代入得：

3 3 2 =b -2 3 =k+b

，
解得：k=-

7

2

3

，b=

3 3

2

，
∴直線EQ的函數解析式是y=-

7

2

3

x+

3 3

2

．
②把y=0代入得：x=

3

7

，
∴G的坐標是（

3

7

，0），
由勾股定理得：EG²=EO²+OG²=

1359

196

，
∴△EOG的外接圓的面積為π(

EG

2

)2=

1359

784

π．

點評：本題綜合考查了二次函數的最值，用待定系數法求出一次函數的解析式，勾股定理，相似三角形的性質和判定，菱形的性質，三角形的外接圓等知識點的運用，此題綜合性比較強，有一定的難度，綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．