Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，作以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E、F．

（1）求證：EF⊥AC；

（2）若BF=2，CE=1.2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）連接OD，AD，由切線的性質可得OD⊥EF，再利用圓周角定理證明AD⊥BC，根據等腰三角形的性質可證明OD∥AC，由平行線的性質即可得到EF⊥AC；（2）設⊙O的半徑為x，由OD∥AC，可得：△ODF∽△AEF，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到關于x的比例式，求出x的值即可．

試題解析：（1）如圖：連接OD，AD，

∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF．又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=DC．∴OD∥AC．∴AC⊥EF；（2）先設⊙O的半徑為x．∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF．∴，∵BF=2，CE=1.2，∴AE=AC-CE=AB-CE=2x-1.2,OF=OB+BF=x+2,AF=AB+BF=2x+2,所以．解得：x=3．∴⊙O的半徑為3．