Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝交x軸于點A、B（點A在點B的左側），交y軸于點C．

（1）如圖，點D是拋物線在第二象限內的一點，且滿足|xD﹣xA|＝2，過點D作AC的平行線，分別與x軸、射線CB交于點F、E，點P為直線AC下方拋物線上的一動點，連接PD交線段AC于點Q，當四邊形PQEF的面積最大時，在y軸上找一點M，x軸上找一點N，使得PM+MN﹣NB取得最小值，求這個最小值；

（2）如圖2，將△BOC沿著直線AC平移得到△B′O′C′，再將△B'O′C′沿B′C′翻折得到△B′O″C′，連接BC′、O″B，則△C′BO″能否構成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點O″的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P′W＝3；（2）點O″的坐標為（﹣，）或（，）或（，）．

【解析】

1）根據|xD﹣xA|＝2，求出點D的坐標，轉換四邊形PQEF的面積最大即為線段PH最大，PM+MN﹣NB取得最小值，將這三條線段轉化為共線即可．

（2）設點O′、B′、C′的坐標，求出點O″的坐標，利用兩點間距離公式表示線段長度，分三種情況討論即可．

（1）令＝0，

解得x1＝，x2＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（，0），

令x＝0，y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

∵|xD﹣xA|＝2，點D是拋物線在第二象限內的一點，

∴D的橫坐標為﹣6，

∴D（﹣6，7），

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

則有

解得

∴直線BC的解析式為y＝2x﹣2，

設直線AC的解析式為y＝k1x+b1，

則有

解得

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣2，

∵DE∥AC，

∴設直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，代入點D（﹣6，7），

解得b2＝4，

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+4，

令y＝0，此時x＝8，

∴F（8，0），

令2x﹣2＝﹣x+4，

解得x＝，

∴E（，），

∵S四邊形PQEF＝S△PDF﹣S△PQE＝S△PDF﹣S△DAE，

∵D、A、E是固定點，

∴S△DAE是固定值，即要使四邊形PQEF的面積最大，只需△PDF的面積最大，

如圖1所示，

過點P作x軸的垂線交DF于點H，則S△PDF＝PH|xF﹣xD|＝7PH，

∴當PH最大時，S△PDF最大，

設點P的坐標為（a，a2+a﹣2），則點H為（a，﹣ a+4），

∴PH＝﹣a2﹣2a+6＝﹣（a+2）2+8，

∴當a＝﹣2時，PH最大，

此時P（﹣2，﹣3），

作點P關于y軸的對稱點P′（2，﹣3），

過點B作直線l：y＝x﹣，

過點P′作直線l的垂線交l于點W，交y軸于點M，交x軸于點N，

∴NB＝NW，

∴PM+MN﹣NB＝PM+MN﹣NW＝P′N﹣NW＝P′W，

∴P′W即為所求，

過P′作y軸的平行線交l于點J，

則J（2，），

則JP′＝，

則P′W＝JP′＝3．

（2）設△BOC在水平方向上移動了2t個單位，則在豎直方向上移動了t個單位，

則C′（﹣2t，﹣2t+t），O′（﹣2t， t），

如圖2所示，過O″作y軸的平行線交O′B′的延長線于點M，

O′O″＝2×× ＝，

∴O″M＝，O′M＝，

∴O″（﹣2t，﹣ +t），

∴C′B＝＝，

C′O″＝2，

O″B＝＝

①＝2，無解．

②＝，解得t＝-1，

∴O″（﹣，），

③＝2，解得t1＝，t2＝，

∴O″（，）或（，）．

綜上所述：點O″的坐標為（﹣，）或（，）或（，）．