Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）DE與半圓O相切，理由為：連接OD，BD，由AB為半圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到一個角為直角，可得出三角形BDC為直角三角形，又E為斜邊BC的中點，利用中點的定義及斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到ED=EB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OD=OB，利用等邊等角得到一對角相等，根據∠EBO為直角，得到∠EBD與∠OBD和為90°，等量代換可得出∠ODE為直角，即DE與OD垂直，可得出DE為圓O的切線，得證；
（2）利用因式分解法求出x²-10x+24=0的解，再根據AB大于AD，且AD和AB為方程的解，確定出AB及AD的長，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的長．

解答：證明：（1）DE與半圓O相切，理由為：
連接OD，BD，如圖所示：
∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為BC的中點，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
又∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE為圓O的切線；

解：（2）方程x²-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x₁=4，x₂=6，
∵AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，且AB＞AD，
∴AD=4，AB=6，
在Rt△ABD中，根據勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=2

5

．

點評：此題考查了切線的判定，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質，圓周角定理，以及利用分解因式的方法解一元二次方程，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．