Question

如圖，己知拋物線y=x²+px+q與x軸交于A、B兩點，∠ACB=90°，交y軸負半軸于C點，點B在點A的右側，且

1

OA

-

1

OB

=

2

OC

．
（1）求拋物線的解析式，
（2）求△ABC的外接圓面積；
（3）設拋物線y=x²+px+q的頂點為D，求四邊形ACDB的面積；
（4）在拋物線y=x²+px+q上是否存在點P，使得△PAB的面積為2

2

？如果有，這樣的點有幾個？寫出它們的坐標；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠ACB=90°，所以可由射影定理和韋達定理求拋物線的解析式；
（2）求出函數與x軸的交點坐標，計算出AB的值，便可求出半徑得到圓的面積；
（3）將四邊形的面積轉化為S_△ACO+S_△DEB+S_梯形COED．
（4）由于底邊值固定，找到高相同的三角形即可．

解答：解：（1）設A點橫坐標為x₁、B點橫坐標x₂；
由射影定理得-x₁•x₂=q²①，
由韋達定理得
x₁•x₂=q，x₁+x₂=-p，
又因為

1

OA

-

1

OB

=

2

OC

，
所以

x1+x2

x1x2

=

2

q

②，
將x₁•x₂=q代入-x₁•x₂=q²①
得，-q=q²，解得q=-1或q=0（不合題意，舍去）．
將x₁•x₂=q，x₁+x₂=-p代入

x1+x2

x1x2

=

2

q

②
得，

-p

q

=

2

q

，p=-2，于是拋物線的解析式y=x²-2x-1．

（2）令y=0，所以x²-2x-1=0，
解得x₁=1-

2

，x₂=1+

2

；
所以AB=x₂-x₁=（1+

2

-1+

2

）=2

2

．
∴△ABC的外接圓的半徑=

2

∴△ABC的外接圓的面積=π（

2

）²=2π．

（3）因為拋物線y=x²-2x-1的頂點坐標為（1，-2），作DE⊥AB于E，
所以四邊形ACDB的面積=S_△ACO+S_△DEB+S_梯形COED=

(2+1)×1

2

+

2 ×2

2

+

1×( 2 -1)

2

=

3 2

2

+1．

（4）AB=2

2

，
要使△PAB的面積為2

2

，只需P點到x軸即AB所在直線的距離為2．
∴P點的縱坐標為2或-2，代入y=x²-2x-1得：
∴P點的坐標為（3，2），（-1，2），（1，-2）．

點評：解答此題的關鍵是求出二次函數解析式，然后根據二次函數的性質以及其圖象上點的坐標特征解題．