Question

如圖，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，點O為斜邊AB上一點，以點O為圓心、OA為半徑的圓與BC相切于點D，與AB相交于點E，與AC相交于點F，連接OD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAD=22.5°，⊙O的半徑為4，求陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）利用切線BC的性質求得∠ODB=90°，再根據已知條件∠ACB=90°，來證明OD∥AC；然后由兩直線平行內錯角相等知∠1=∠3；最后由等腰三角形AOD的兩個底角∠1=∠2及等量代換證明AD平分∠BAC；
（2）由圓周角定理求得∠EOD=2∠BAD=45°；然后利用扇形面積公式=

n π•42

360°

來求陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵⊙O與BC相切于點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°（1分）
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠ACB（2分）
∴OD∥AC（3分）
∴∠1=∠3（4分）
∵OD=OA，
∴∠1=∠2（5分）
∴∠2=∠3，即AD平分∠BAC（6分）

（2）解：∵∠BAD=22.5°，
∴∠EOD=45°（7分）
∴S陰影=

45°π•42

360°

（8分）

點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理及扇形的面積公式．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．