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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連接AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長;
(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2=AC•AP?若存在,請說明點P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)通過證明△AOE≌△COF,可得四邊形AFCE是平行四邊形;由折疊的性質,可得AE=EC,即可證明;
(2)由勾股定理得AB2+FB2=100,△ABF的面積為24cm2可得,AB×BF=48;變換成完全平方式,即可解答;
(3)過點E作BC的垂線,交AC于點P,通過證明△AOE∽△AEP,即可證明;
解答:(1)證明:由題意可知OA=OC,EF⊥AO,
∵AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF,又AE∥CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
由圖形折疊的性質可知,AC⊥EF,
∴四邊形AECF是菱形;

(2)解:∵四邊形AECF是菱形,
∴AF=AE=10cm,
設AB=a,BF=b,
∵△ABF的面積為24cm2
∴a2+b2=100,ab=48,
∴(a+b)2=196,
∴a+b=14或a+b=-14(不合題意,舍去),
∴△ABF的周長為14+10=24cm;

(3)解:存在,過點E作BC的垂線,交AC于點P,點P就是符合條件的點;
證明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAO=∠EAO,
∴△AOE∽△AEP,
=
∴AE2=AO•AP,
∵四邊形AECF是菱形,
∴AO=AC,
∴AE2=AC•AP,
∴2AE2=AC•AP.
點評:本題考查了相似和全等三角形的判定和性質、勾股定理及矩形的性質,考查的知識點較多,綜合性較強,考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與C重合,再展開,折精英家教網痕EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF、CE和EF,設EF與AC的交點為O.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=2
13
cm
,△ABF的為面積12cm2,求△ABF的周長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•樂清市模擬)已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連接AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=5cm,△CDE的周長為12cm,求矩形ABCD的面積.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結AF和CE.求證:四邊形AFCE是菱形.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),O是對角線AC的中點,過點O的直線EF⊥AC交AD邊于E,交BC邊于F.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長.

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