Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 是一次函數 y 3x 20 與 y x 12的交點，過點 A 分別作 x 、 y 軸的垂線段，垂足分別是 B 和C ，動點 P 和Q 以1個單位/秒的速度，分別從點C 、 B 出發，沿線段CA 、 BO 方向，向終點 A 、O 運動，設運動時間為t秒.

（1）證明：無論運動時間t 0 t 8取何值，四邊形OPAQ 始終為平行四邊形；

（2）當四邊形OPAQ 為菱形時，請求出此時 PQ 的長度及直線 PQ 的函數解析式；

（3）當OP 滿足 2 OP 5時，連接 PQ ，直線 PQ 與 y 軸交于點 M ，取線段 AC 的中點 N ，試確定 MNP 的面積 S 與運動的時間t 之間的函數關系式，并求出 S 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），y=－2x+10；（3）S=t（2≤t≤3），2≤S≤3．

【解析】

（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可；

（2）過P作PH⊥x軸于H，則CP=OH，PH=CO．解方程組求出A的坐標，由菱形的性質以及勾股定理求得t的值，進而得到OQ、OH，HQ的長．利用勾股定理即可求出PQ的長，利用待定系數法可得到直線PQ的解析式．

（3）分別計算出當OP=和OP=5時，對應的t的值，即可得出t的取值范圍．

再利用相似三角形的判定與性質表示出MC，然后利用三角形面積公式即可得出結論．

（1）∵0 t 8，∴CP=QB=t．

∵CA=OB，∴PA=OQ．

∵PA∥OQ，∴四邊形OPAQ為平行四邊形．

（2）過P作PH⊥x軸于H，則CP=OH，PH=CO．

解方程組得：，∴A（8，4），∴CO=BA=4，OB=CA=8．

∵四邊形OPAQ 為菱形，∴OP=PA=OQ=8-t．在Rt△CPO中，∵OC2+CP2=OP2，∴，解得：t=3，∴OQ=8-t=5，OH=CP=3，∴HQ=OQ-OH=5-3=2．

∵PH=CO=4，∴PQ===．

∵CP=3，OQ=5，∴P（3，4），Q（5，0）．設直線PQ的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴．設直線PQ的解析式為y=－2x+10．

（3）當OP=時，CP==2，∴t=2；

當OP=5時，CP==3，∴t=3；∴2≤t≤3．

∵CP∥OQ，∴△MCP∽△MOQ，∴，∴，解得：MC=．

∵CA=8，∴CN=4，∴PN=4－t，∴△MNP的面積S=PNCM==t，∴S=t（2≤t≤3），∴2≤S≤3．