Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點F，點E是BD上一點，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．

（1）求證：△ABE∽△ACD；

（2）若BC＝2，AD＝6，DE＝3，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）AC=4

【解析】

試題（1）根據∠BAC＝∠DAE得到∠BAE＝∠CAD，根據∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD得到∠ABE＝∠ACD，從而說明△ABE和△ACD相似；（2）根據△ABE∽△ACD得到＝，再根據∠BAC＝∠DAE得到△ABC和△AED相似，根據相似比求出AC的值.

試題解析：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．

又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD， ∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD．

∴△ABE∽△ACD．

（2）∵△ABE∽△ACD，∴＝． 又∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△AED，

∴＝， ∴AC＝＝＝4．