Question

如圖，半徑AO⊥PO，PB切⊙O于點B，AB交PO于點C，且∠P=60°，OC=1．
（Ⅰ）求證：△PBC是等邊三角形；
（Ⅱ）求PC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB．利用切線的性質、三角形內角和定理、等腰三角形的兩個底角相等是性質證得∠PBA=60°；根據等邊三角形的判定定理即可證得結論；
（2）利用（1）中∠POB=∠OBA=30°，則由等腰三角形的性質推知OC=BC；然后利用（1）中等邊三角形△PBC的三條邊相等知PC=BC，即PC=BC=1．
解答：（1）證明：連接OB．
∵PB為⊙O切線，
∴∠PBO=90°；
∵∠P=60°，
∴∠POB=30°（三角形內角和定理）；
∵AO⊥PO，
∴∠AOP=90°，
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∵OA、OB為圓半徑，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠PBA=60°，
∴△PBC是等邊三角形（△PBC有兩個內角為60°）；

（2）由（1）中已證∠POB=∠OBA=30°，
則BC=OC=1；
又∵△PBC是等邊三角形，
∴PC=BC=1．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．