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圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

(1)圖②中的陰影部分的面積為
(m-n)2
(m-n)2

(2)觀察圖②請你寫出三個代數式(m+n)2、(m-n)2、mn之間的等量關系是:
(m-n)2=(m+n)2-4mn
(m-n)2=(m+n)2-4mn

(3)若x+y=-6,xy=2.75,則x-y=
±5
±5

(4)實際上有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖③,它表示了
(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2
(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2

(5)請你用圖③提供的若干塊長方形和正方形硬紙片圖形,用拼長方形的方法,把下列二次三項式進行因式分解:m2+4mn+3n2.要求:在圖④的框中畫出圖形;寫出分解的因式.
分析:(1)②中的陰影部分為邊長為(a-b)的正方形,然后根據正方形面積公式求解即可;
(2)由于圖②中陰影部分的面積可以表示為(m+n)2-4mn,所以(m-n)2=(m+n)2-4mn;
(3)利用(2)的結論得到(x-y)2=(x+y)2-4xy,再把x+y=-6,xy=2.75代入計算,然后根據平方根的定義求解;
(4)利用圖形的面積不變得到(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2
(5)先拼接長方形,然后利用面積之間的關系得到m2+4mn+3n2=(m+n)(m+2n).
解答:解:(1)圖②中陰影部分的面積等于(m-n)2
(2)圖②中陰影部分的面積為(m+n)2-4mn,
所以(m-n)2=(m+n)2-4mn;
(3)(x-y)2=(x+y)2-4xy
=(-6)2-4×2.75
=25,
∴x-y=±5;
(4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2
(5)如圖,m2+4mn+3n2=(m+n)(m+2n).
故答案為(m-n)2;(m-n)2=(m+n)2-4mn;±5;(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2
點評:本題考查了完全平方公式的幾何背景:運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程,通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

23、如圖①,是一個長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

(1)觀察圖②,你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎?代數式:(m+n)2,(m-n)2,mn
(2)根據(1)題中的等量關系,解決如下問題:若a+b=7,ab=5,則(a-b)2=
29

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科目:初中數學 來源: 題型:

28、如圖a是一個長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后按圖b的形狀,拼成一個正方形.
(1)圖b中的陰影部分面積為
m2-2mn+n2或(m-n)2

(2)觀察圖b,請你寫出三個代數式(m+n)2,(m-n)2,mn之間的等量關系是
(m+n)2
=
(m-n)2
+4mn

(3)若x+y=-6,xy=2.75,利用(2)提供的等量關系計算:x-y=
±5

(4)實際上有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示,如圖C,它表示了
2m2+3mn+n2=(2m+n)(m+n),試畫出一個幾何圖形的面積是a2+4ab+3b2,并能利用這個
圖形將a2+4ab+3b2進行因式分解.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊形狀大小完全一樣的小長方形,然后按圖b形狀拼成一個大正方形.
(1)你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少?
(2)觀察圖b你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎?代數式:(m+n)2,(m-n)2,mn.
(3)已知m+n=9,mn=14,求(m-n)2的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形,然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

(1)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積(直接用含m,n的代數式表示)
方法1:
(m-n)2
(m-n)2

方法2:
(m+n)2-4mn
(m+n)2-4mn

(2)根據(1)中結論,請你寫出下列三個代數式之間的等量關系;代數式:(m+n)2,(m-n)2,mn
(m-n)2=(m+n)2-4mn
(m-n)2=(m+n)2-4mn

(3)根據(2)題中的等量關系,解決如下問題:已知a+b=8,ab=7,求a-b和a2-b2的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形,然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

(1)你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于
m-n
m-n

(2)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.
(m-n)2
(m-n)2

(m+n)2-4mn
(m+n)2-4mn

(3)觀察圖2你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎?
(m+n)2,(m-n)2,mn
(m-n)2=(m+n)2-4mn
(m-n)2=(m+n)2-4mn

(4)運用你所得到的公式,計算若mn=-2,m-n=4,求(m+n)2的值.
(5)用完全平方公式和非負數的性質求代數式x2+2x+y2-4y+7的最小值.

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