Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是BC的中點，OB，DE相交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求EF：FD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連CD，利用勾股定理求出AB=8，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到∠ABC=30°，∠BAC=60°，則∠ODA=60°；而AC為直徑，根據圓周角定理的推論得到△CDB為直角三角形，而E點為斜邊BC的中點，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE=EC，則∠BDE=∠DBE=30°，易得到∠ODE=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）連OE，先求出BD，再利用勾股定理計算出OE；根據三角形中位線的性質得到OE∥AB，然后根據平行線分線段成比例定理得到EF：FD=OE：BD，即可得到EF：FD的值．
解答：（1）證明：連CD，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=4，，
∴AB===8，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴∠ODA=60°，
又∵AC為直徑，
∴∠CDA=90°，即△CDB為直角三角形，
而E點為斜邊BC的中點，
∴DE=BE=EC，
∴∠BDE=∠DBE=30°，
∴∠ODE=180°-∠BDE-∠ADO=180°-30°-60°=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連OE，如圖，
∵△OAD為等邊三角形，
∴AD=OA=2，
∴BD=AB-AD=8-2=6，
在Rt△OEC中，OE===4，
又∵OE為△CBA的中位線，
∴OE∥AB，
∴EF：FD=OE：BD=4：6=2：3．
點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形的中位線性質以及平行線分線段成比例定理．