Question

如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（－，1）、
F（－，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′．
 

 
【小題1】求折痕所在直線EF的解析式；
【小題2】一拋物線經過B、E、B′三點，求此二次函數解析式；
【小題3】能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最小？如能，求出點P的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

【小題1】設EF的解析式為y=kx+b,把E（－，1）、F（,0）的坐標代入
1=－k+b             解得：k=
0=k+b                    b=4
所以，直線EF的解析式為y=x+4-
【小題1】設矩形沿直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′
∵BE=3-=2；∴B′E= BE=2
在Rt△AE B′中，根據勾股定理，求得： A B′＝3，∴B′的坐標為（0，-2）
設二次函數的解析式為：y=ax²+bx+c
把點B（－3，1）、E（－，1）、B′（0，-2）代入
-2=c                                  a=
3a－b+c=1                 解得： b=
27a－3b+c=1                       c=－2
∴二次函數的解析式為y=x²x－2
【小題1】能，可以在直線EF上找到點P,連接C,交直線EF于點P，連接BP.
由于B′P=BP,此時，點P與C、B′在一條直線上，所以，BP+PC = B′P+PC的和最小，
由于BC為定長，所以滿足△PBC周長最小。
設直線B′C的解析式為：y=kx+b
－2=b
0=－3k+b        所以，直線B′C的解析式為-
又∵P為直線B′C和直線EF的交點，
∴         解得：  
y=x+4                     
∴點P的坐標為（ ， ）-解析:

【小題1】把已知量代入函數解析式，利用待定系數法列出方程求解，從而得到二次函數的解析式。
【小題1】連接BP，得到BP+PC = B′P+PC的和最小，從而滿足△PBC周長最小。