Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=3。

（1）在AB邊上取一點D，將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處，求點D，E的坐標；
（2）若過點D，E的拋物線與x軸相交于點F（-5，0），求拋物線的解析式和對稱軸方程；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交于點H，在拋物線上是否存在點P，使△PFH的內心在坐標軸上？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。
（4）若（2）中的拋物線與y軸相交于點H，點Q在線段OD上移動，作直線HQ，當點Q移動到什么位置時，O，D兩點到直線HQ的距離之和最大？請直接寫出此時點Q的坐標及直線HQ的解析式。

Answer 1

解：（1）依題意，
在中，
∴
∵
∴
而
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴點D，E的坐標分別為。
（2）設拋物線的解析式為
∵拋物線過點
∴
解得
∴拋物線的解析式為
對稱軸的方程為
∴對稱軸的方程為。
（3）存在這樣的點P，使的內心在坐標軸上
①若△PFH的內心在y軸上，設直線PH與x軸相交于點M，
∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴點M的坐標為（5，0）
∴直線PH的解析式為y=-x+5
解方程組，得，
∴點P的坐標為（7，-2）。
②若△PFH的內心在x軸上，設直線PF與y軸相交于點N，
∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
∴HO=NO，
∴點N的坐標為（0，-5），
∴直線FN的解析式為y=-x-5
解方程組，得，
∴點P的坐標為（12，-17）
綜合①②可知點P的坐標為（7，-2）或（12，-17）。
（4）點Q的坐標為，直線的解析式為y=-3x+5。