Question

如圖，PA與⊙O相切于點A，弦AB⊥OP，垂足為C，OP與⊙O相交于點D，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度數；
（2）求弦AB的長；
（3）過P、B兩點的直線是否是⊙O的切線，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據PA與⊙O相切于A點可知，OA⊥AP，再依據銳角三角函數的定義即可求出；
（2）根據直角三角形中∠AOC=60°，OA=2可求出AC的長，再根據垂徑定理即可求出弦AB的長；
（3）通過全等三角形△OAB≌△OBP（SAS）的對應角相等證得∠OAP=∠OBP=90°．所以過P、B兩點的直線是⊙O的切線．
解答：解：（1）∵PA與⊙O相切于A點，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA==，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA•sin60°=2×=．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2；

（3）過P、B兩點的直線是⊙O的切線．理由如下：
如圖，連接OB、PB．
在△OAB和△OBP中，
，
∴△OAB≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP．
又∵PA與⊙O相切于點A，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°．
又∵點B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線，即過P、B兩點的直線是⊙O的切線．
點評：本題考查了圓的切線性質，及三角函數的定義及特殊角的三角函數值．此題通過作輔助線OB、PB證得PB是⊙O的切線．