Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，tan∠ADC=2．
（1）求證：DC=BC；
（2）E是梯形內一點，連接DE、CE，將△DCE繞點C順時針旋轉90°，得△BCF，連接EF．判斷EF與CE的數量關系，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，當CE=2BE，∠BEC=135°時，求cos∠BFE的值．

Answer 1

分析：（1）如圖，過A作AP⊥DC于點P，由AB∥CD可以得到∠ABC=90°，然后得到四邊形APCB是矩形，接著利用已知條件可以求出PC=AB=2，AP=BC=4，又在Rt△ADP中，根據tan∠ADC=

AP

DP

可以求出DP=2，接著得到DC=4，由此即可解決問題；
（2）EF=

2

CE．由△DCE繞點C順時針旋轉90°得△BCF，根據旋轉的性質得到CF=CE，∠ECF=90°，然后利用勾股定理即可求出EF；
（3）由（2）得∠CEF=45°，而∠BEC=135°，由此得到∠BEF=90°．設BE=a，則CE=2a，由EF=

2

CE，則EF=2

2

a．在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，然后根據余弦的定義即可求解．

解答：解：（1）證明：作AP⊥DC于點P．
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四邊形APCB是矩形，
∴PC=AB=2，AP=BC=4．
在Rt△ADP中，tan∠ADC=

AP

DP

即

AP

DP

=2，
∴DP=2，
∴DC=DP+PC=4=BC．

（2）EF=

2

CE．
證明如下：由△DCE繞點C順時針旋轉90°得△BCF，
∴CF=CE，∠ECF=90°，
∴EF=

CF2+CE2

=

2

CE．

（3）由（2）得∠CEF=45°．
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=90°．
設BE=a，則CE=2a，由EF=

2

CE，則EF=2

2

a
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，
∴cos∠BFE=

EF

BF

=

2 2

3

．

點評：此題分別考查了旋轉的性質、勾股定理、矩形的性質、梯形的性質及三角函數的定義，綜合性比較強，要求學生熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決這類問題．