Question

在直角坐標系中，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點A在x軸負半軸上，與y軸交于點B，拋物線上一點C的橫坐標為1，且AC=3．
（1）求此拋物線的函數解析式．
（2）若拋物線上有一點D，使得直線DB經過第一、二、四象限，且原點O到直線DB的距離為，求這時點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據題意畫出圖形，過點C作CE⊥x軸于點E．由拋物線上一點C的橫坐標為1，且AC=3，可用mn表示出C點坐標及OE，CE的長，由拋物線的頂點A在x軸負半軸上可得出A點坐標，再由方程有兩個相等的實數根及勾股定理即可求出m、n的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）直線DB經過第一、二、四象限．設直線DB交x軸正半軸于點F，過點O作OM⊥OB于點M，由點O到直線DB的距離為可得出OM的長，再根據拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點B，可得出B點坐標，根據勾股定理求出BM的長，根據相似三角形的判定定理得出△OBF∽△MBO，根據相似三角形的對應邊成比例可得出OF=2BO，故可得出F點的坐標，求出直線BF的解析式，再根據點D既在拋物線上，又在直線BF上可聯立方程組，求出D點坐標．
解答：解：（1）根據題意畫示意圖（如圖1），過點C作CE⊥x軸于點E．
∵拋物線上一點C的橫坐標為1，且AC=3，
∴C（1，n-2m+2），其中n-2m+2＞0，
OE=1，CE=n-2m+2．
∵拋物線的頂點A在x軸負半軸上，
∴A（m，0），其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m．
∴，
由①，得n=m²-1．③
把③代入②，整理得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0
（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0．
∴m²-2m+11=0，或m²-2m-8=0．
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0．沒有實數根．
解方程m²-2m-8=0，得m₁=4，m₂=-2．
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入③，得n=3．
∴拋物線的函數解析式為y=x²+4x+4；

（2）解法一：∵直線DB經過第一、二、四象限．
∴設直線DB交x軸正半軸于點F，過點O作OM⊥OB于點M（如圖2），
∵點O到直線DB的距離為，
∴OM=
∵拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點B，
∴B（0，4）
∴OB=4．
∴BM===，
∵OB⊥OF，OM⊥BF．
∴△OBF∽△MBO．
∴=，
∴=，
∴OF=2BO=8．
∴F（8，0）．
∴直線BF的解析式為y=-x+4，
∵點D既在拋物線上，又在直線BF上，
∴，解得，，
∵DB是直線，
∴D與點B不重合．
∴D（-，），
解法二：過點D作DN⊥y軸于點N，設點D的橫坐標為α．
同解法一，得OB=4，BM=，
∵點D在拋物線y=x²+4x+4上，
∴D（α，α²+4α+4），且α＜0，α²+4α+4＞0．
∴DN=-α，ON=α²+4α+4，BN=ON-OB=α²+4α．
∵∠1=∠2，∠3=∠4=90°
∴△DNB∽△OMB，
∴=，
∴=，
整理得2α²+9α=0．解得α₁=0，α₂=-，
∵DB是直線，
∴點D與點B不重合．
∴α=-，此時α²+4α+4=，
∴點D的坐標為（-，）．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式等知識，難度適中．