Question

【題目】一位同學拿了兩塊 45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一個探究活 動：將△MNK 的直角頂點 M 放在△ABC 的斜邊 AB 的中點處，設 AC=BC=a．

（1）如圖 1，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為 ，周長為 ；

（2）將圖 1 中的△MNK 繞頂點 M 逆時針旋轉 45°，得到圖 2，此時重疊部分 的面積為 ，周長為 ；

（3）如果將△MNK 繞 M 旋轉到不同于圖 1，圖 2 的位置，如圖 3 所示，猜想此 時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)4；（3）4．

【解析】

試題（1）利用勾股定理列式求出AB，再根據等腰直角三角形的性質可得CM⊥AB，AM=CM=AB，然后求解即可；

（2）設MN與AC的交點為D，BC與MK的交點為G，根據旋轉角是45°求出∠AMD=45°，然后根據同位角相等，兩直線平行求出DM∥BC，從而判定DM是△ABC的中位線，然后求出DM=BC，同理求出MG=AC，判斷出四邊形DCGM是正方形，再根據正方形的性質求出面積即可；

（3）過點M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，可得四邊形ECMF是正方形，根據正方形的性質可得ME=MF，再根據同角的余角相等求出∠DME=∠GMF，然后利用“角邊角”證明△DME和△GMF全等，根據全等三角形面積相等可得△DME和△GMF的面積相等，然后求出陰影部分的面積等于正方形ECMF的面積，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出ME，然后求解即可．

試題解析：（1）∵AC=BC=4，∴AB==，∵M是AB的中點，∴CM⊥AB，AM=CM=AB=，∴陰影部分的面積=AMCM=；

（2）設MN與AC的交點為D，BC與MK的交點為G，∵旋轉角是45°，∴∠AMD=45°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠AMD=∠B=45°，∴DM∥BC，∵M是AB的中點，∴DM是△ABC的中位線，∴DM=BC=×4=2，同理可得，MG=AC=×4=2，∴四邊形DCGM是正方形，∴陰影部分的面積=22=4；

（3）如圖，過點M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，∵M是等腰直角△ABC斜邊AB的中點，∴四邊形ECMF是正方形，∴ME=MF，∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，∴∠DME=∠GMF，在△DME和△GMF中，，∴△DME≌△GMF（ASA），∴S△DME=S△GMF，∴陰影部分的面積=正方形ECMF的面積，∵M是AB的中點，∴ME是△ABC的中位線，∴ME=BC=×4=2，∴正方形ECMF的面積=22=4，∴陰影部分的面積=4．