Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．將射線AM繞著點A順時針旋轉45°得到射線AN．點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點C在∠MAN的內部．

(1)求線段AC的長；

(2)當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；

(3)求△BCD周長的最小值；

(4)當△BCD的周長取得最小值，且時，△BCD的面積為________．

(第(4)問只需填寫結論，不要求書寫過程)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵直線與x軸、y軸分別交于C、A兩點， 　　∴點C的坐標為，點A的坐標為(0，2)．………………1分 　　∴AC＝4．………………2分 　　(2)如圖，當AD∥BC時， 　　依題意，可知∠DAB＝45°， 　　∴∠ABO＝45°． 　　∴OB＝OA＝2． 　　 　　………………3分 　　如圖，當AB∥DC時， 　　可得 　　設射線AN交x軸于點E． 　　∵AD∥x軸， 　　∴四邊形AECD為平行四邊形． 　　 　　綜上所述，當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時， 　　………………4分 　　(3)如圖，作點C關于射線AM的對稱點，點C關于射線AN的對稱點．………………5分 　　由軸對稱的性質，可知 　　 　　連結、， 　　可得 　　 　　連結． 　　∵兩點之間線段最短， 　　∴當B、D兩點與、在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段的長． 　　∴△BCD的周長的最小值為．………………7分 　　(4)………………8分 　　(本題若沒有第(3)問的答案，則第(4)問不給分) 　　(注：對于每題的不同解法，請老師們根據評分標準酌情給分)