Question

已知拋物線y=x² + 1(如圖所示)．

 (1)填空：拋物線的頂點坐標是(______，______)，對稱軸是_____；

 (2)已知y軸上一點A(0，2)，點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；

 (3)在(2)的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=0）（2）（，4）或（－ ，4）（3）存在。所有滿足條件的點N的坐標為 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。

【解析】解：（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=0）。

（2）

 

∵△PAB是等邊三角形，

∴∠ABO=90°－60°=30°。

∴AB=2OA=4。∴PB=4。

把y=4代入y=x²+1，得 x=±。

∴點P的坐標為（，4）或（－ ，4）。

（3）存在。所有滿足條件的點N的坐標為

(，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。

（1）根據函數的解析式直接寫出其頂點坐標和對稱軸即可。

（2）根據等邊三角形的性質求得PB=4，將PB=4代入函數的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標，代入解析式即可求得P點的縱坐標。

（3）首先求得直線AP的解析式，然后設出點M的坐標，利用勾股定理表示出有關AP的長即可得到有關M點的橫坐標的方程，求得M的橫坐標后即可求得其縱坐標：設存在點M使得OAMN是菱形，

∵∠OAP＞90⁰，∴OA不可能為菱形的對角線，只能為菱形的邊。

若點P的坐標為（，4），∵點A的坐標為（0，2），

設線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，則，解得： 。 

∴AP所在直線的解析式為：y=x+2。

∵點M在直線AP上，∴設點M的坐標為：（m， m+2）。

如圖，作MH⊥y軸于點H，

則MH= m，AN=OH－OA=m+2－2=m。

∵OA為菱形的邊，∴AM=AO=2。

∴在Rt△AMH中，AH²+MH²=AM²，即：m²+（m）²=2²，

解得：m=±。∴M（，3）或（－，1）。

當M（，3）時，N（，1）；當M（－，1）時，N（－，－1）。

若點P的坐標為（－，4），同理可得N的坐標為（－，1）或（，－1）。

綜上所述，存在點N（，1），（－，－1），（－，1），（，－1），使得

四邊形OAMN是菱形。