Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M．
（1）求證：△BEM∽△DFM；
（2）若BD=12cm，求DM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于BC=2AD，且F是BC的中點，可證得BF=AD，即BF與AD平行且相等，由此可得四邊形ABFD是平行四邊形，由此可得AB∥DF，即可證得△BEM∽△DFM．
（2）由（1）知四邊形ABFD是平行四邊形，那么DF=AB=2BE，即（1）所得相似三角形的相似比為1：2，由此可得DM=2BM，聯立BD的長，即可求得DM的長．
解答：（1）證明：∵BC=2AD，F是BC的中點，
∴BF=AD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
∴AB∥FD，
∴∠BEM=∠DFM，（兩直線平行，內錯角相等）
又∵∠BME=∠DMF（對頂角相等）
∴△BEM∽△DFM（兩角對應相等，兩三角形相似）．（4分）

（2）解：∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB=DF，
∵E是AB的中點，
∴BE=DF，
∵△BEM∽△DFM，，
∴，DM=8cm．（7分）
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及相似三角形的判定和性質，能夠發現四邊形ABFD是平行四邊形，是解決此題的關鍵．