Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，連接EF交AP于點G，給出以下五個結論：

①∠B=∠C=45°；

②AE=CF，

③AP=EF，

④△EPF是等腰直角三角形，

⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半．

其中正確的結論是（ ）

A．只有① B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：根據等腰直角三角形的性質得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據全等三角形性質判斷結論是否正確，根據全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半．

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，

∴①∠B=∠C=×（180°﹣90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，

∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，

∴∠FPC=∠EPA．

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴②AE=CF；④EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可證得△APF≌△BPE，

∴⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，

∴AP=BC，

∵EF不是△ABC的中位線，

∴EF≠AP，故③錯誤；

④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°，

∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°，

∴∠AEP=∠AGF．

故正確的有①、②、④、⑤，共四個．

因此選D．