Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)M在BC邊上，且∠MDF=∠ADF。

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）如果FM=CM，求證：EM垂直平分DF．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)AD∥BC，可得∠ADE=∠F，由E是AB的中點(diǎn)，可得AB=BE，從而可以證明△ADE≌△BFE；

（2）由△ADE≌△BFE，可得DE=EF，再根據(jù)∠MDF=∠ADF，AD∥BC，可以得到∠F=∠MDF ，則MF=MD，然后根據(jù)等腰三角形三線合一，可以證明結(jié)論成立．

證明：（1）∵E是AB的中點(diǎn)，

∴AE=BE，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠F，

在△ADE與△BFE中

∠ADF=∠F，∠AED=∠BEF，AE=BE，

∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）∵△ADE≌△BFE，

∴DE=EF，

∵AD∥BC，∠ADF=∠F，∠GDF＝∠ADF，

∴∠F=∠MDF，

∴MF=MD，

∴△MFD為等腰三角形，

∵DE=EF，

∴EM垂直平分DF.