Question

如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm，母線OE（OF）長為10cm．在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點，則此螞蟻爬行的最短距離

 

cm．

Answer 1

分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．

解答：解：因為OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周長=10π（cm），
將圓錐側面沿OF剪開展平得一扇形，此扇形的半徑OE=10（cm），弧長等于圓錐底面圓的周長10π（cm）
設扇形圓心角度數為n，則根據弧長公式得：
10π=

10nπ

180

，
所以n=180°，
即展開圖是一個半圓，
因為E點是展開圖弧的中點，
所以∠EOF=90°，
連接EA，則EA就是螞蟻爬行的最短距離，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA²=OE²+OA²=100+64=164，
所以EA=2

41

（cm），
即螞蟻爬行的最短距離是2

41

（cm）．

點評：圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．