Question

24、如圖，已知正方形ABCD和正方形DEFG，點G在AD上．連接AE交FG于點M，連接CG并延長交AE于點N，
（1）寫出圖中所有與△EFM相似的三角形； 
（2）證明：EF²=FM•CD．

Answer 1

分析：（1）△CGD，△NEC，△AGM，△AGN，△GMN，△ADE都與△EFM相似，△CGD與△EFM相似，原因是由兩正方形的性質得到一對直角相等，兩對邊長相等，進而得到三角形ADE與三角形CDG全等，得到對應角∠DAE與∠DCG相等，根據AD與EF平行，得到內錯角∠DAE與∠FEN相等，根據等量代換得到∠DCG與∠FEN相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似即可得證；△NEC與△EFM相似，由∠DCG與∠FEN相等，且∠CNE與∠F相等都為直角，故得證；△ADE與△EFM相似，原因是由AD與EF平行得到一對內錯角相等，另加一對直角相等，故得證；△AGM與△EFM相似，∠DAE與∠FEN相等且對頂角相等即可得證；，△AGN與△EFM相似，∠DAE與∠FEN相等，∠ANG與∠F相等都為直角，即可得證；△GMN都與△EFM相似，由直角∠GNM與∠F相相等且一對對頂角相等即可得證；
（2）由（1）中得到的△EFM∽△CGD，得到對應邊成比例，得到一個比例式，根據正方形的邊長相等等量代換即可得證．

解答：解：（1）根據題意得：△EFM∽△CGD∽△NEC∽△AGM∽△AGN∽△GMN∽△ADE；

（2）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADE=∠CDG=90°，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又AD∥EF，∴∠DAE=∠FEN，
則∠DCG=∠FEN，
∠GCD=∠EFN=90°，
∴△EFM∽△CGD，
得比例GD：MF=CD：EF，
由正方形DEFG，得GD=EF，
則EF²=FM•CD．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判斷與性質以及相似三角形的判斷與性質．考查學生應有的觀察和邏輯思維能力，解決這類問題的方法一般采用“聯想分析綜合法”，即先“聯想”發現結論，然后分析尋找，總結結論．