Question

已知如圖，正方形ABCD中，E為DC上一點，連接BE，作CF⊥BE于P交AD于F點，若恰好使得AP=AB．求證：E為DC中點．

Answer 1

【答案】分析：過A作AM⊥BE與M，根據條件可以得出△ABM≌△BCP，可以得出AP=AB，進而可以得出△ABM∽△BEC由相似三角形的性質就得出CE=DC，從而可以得出結論．
解答：證明：過A作AM⊥BE與M．
∴∠AMB=∠AMP=90°，
∴∠1+∠3=90°   
∵BE⊥CF
∴∠4=90°
∴∠AMB=∠4    
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=90°．
即∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3
∵在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（AAS）
∴AM=BP   
∵AP=AB，AM⊥BE，
∴BM=BP=AM．
∵∠2=∠3，∠AMB=∠BCE，
∴△ABM∽△BEC
∴
∵BC=DC
∴CE=DC．
∴E為DC中點．
點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答時正確作出輔助線是解答本題的關鍵．