Question

【題目】如圖，是的切線，切點為，是的直徑，連接交于．過點作于點，交于，連接，．

(1)求證：是的切線；

(2)求證：為的內心；

(3)若，，求的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

(1)連結，根據圓周角定理得到，證明，得到，根據切線的判定定理證明；

(2)連結，根據切線的性質定理得到，證明平分，根據三角形的內心的概念證明即可；

(3)根據余弦的定義求出，證明，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

(1)證明：連結，

∵為的直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，，

，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵為的切線，

∴，

∴，

∴是的切線；

(2)證明：連結，

∵為的切線，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分，

∵、為的切線，

∴平分，

∴為的內心；

(3)解：∵，，

∴，

∴，

在中，，

∴，，

∵，

∴，

∴.