Question

（2006•遵義）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點（不與A、D重合），PE上BP，P為垂足，PE交DC于點E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？請說明理由；
（2）設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（3）請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由；
（4）請你探索在點P的運動過程中，△BPE能否構成等腰三角形？如果能．求出AP的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABP和△DPE是相似的，∵∠A=∠D=90°，而∠BPE=90°，根據這兩個條件可以證明它們相似；
（2）根據（1）得到，根據這個結論就可以求出y與x之間的函數關系式；
（3）能構成矩形，∵四邊形ABED已經是直角梯形，若AB=DE它就是矩形，根據這個條件和（2）中函數關系式可以求出AP長；
（4）能構成等腰三角形，當AP=DE時，△ABP≌△DPE，這樣可以得到BP=PE，此時△BPE為等腰三角形，然后根據函數關系式就可以求出AP長．
解答：解：（1）△ABP∽△DPE．

（2）由（1）△ABP∽△DPE，
∴∴，
∴y=-x²+x（0＜x＜5）．

（3）能構成矩形．
當DE=AB=2時，∵AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∵∠A=90°，
∴平行四邊形ABED為矩形．
由（2）有-x²+x=2．x₁=1，x₂=4．
∴當AP=1或AP=4時，ABED是矩形．（9分）

（4）能構成等腰三角形．
當AP=DE時，△ABP≌△DPE，此時△BPE為等腰三角形．（1O分）
即-x²+x=x．解之得x₁=3，x₂=0（舍去）．
即AP=3時，△BPE是等腰三角形（答等腰直角三角形同樣正確）．（12分）
點評：此題把相似三角形的判定與性質和梯形結合起來，綜合性比較強，還利用了函數中求自變量和函數值解題