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(2009•涼山州)如圖,在平面直角坐標系中,點O1的坐標為(-4,0),以點O1為圓心,8為半徑的圓與x軸交于A,B兩點,過A作直線l與x軸負方向相交成60°的角,且交y軸于C點,以點O2(13,5)為圓心的圓與x軸相切于點D.
(1)求直線l的解析式;
(2)將⊙O2以每秒1個單位的速度沿x軸向左平移,當⊙O2第一次與⊙O1外切時,求⊙O2平移的時間.

【答案】分析:(1)求直線的解析式,可以先求出A、C兩點的坐標,就可以根據待定系數法求出函數的解析式.
(2)設⊙O2平移t秒后到⊙O3處與⊙O1第一次外切于點P,⊙O3與x軸相切于D1點,連接O1O3,O3D1
在直角△O1O3D1中,根據勾股定理,就可以求出O1D1,進而求出D1D的長,得到平移的時間.
解答:解:(1)由題意得OA=|-4|+|8|=12,
∴A點坐標為(-12,0).
∵在Rt△AOC中,∠OAC=60°,
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12
∴C點的坐標為(0,-12).
設直線l的解析式為y=kx+b,
由l過A、C兩點,
,解得
∴直線l的解析式為:y=-x-12

(2)如圖,設⊙O2平移t秒后到⊙O3處與⊙O1第一次外切于點P,⊙O3與x軸相切于D1點,連接O1O3,O3D1
則O1O3=O1P+PO3=8+5=13.
∵O3D1⊥x軸,∴O3D1=5,
在Rt△O1O3D1中,
∵O1D=O1O+OD=4+13=17,∴D1D=O1D-O1D1=17-12=5,
(秒).
∴⊙O2平移的時間為5秒.
點評:本題綜合了待定系數法求函數解析式,以及圓的位置關系,其中兩圓相切時的輔助線的作法是經常用到的.
練習冊系列答案
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(2009•涼山州)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經過A(1,0),B(0,2)兩點,頂點為D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將△OAB繞點A順時針旋轉90°后,點B落到點C的位置,將拋物線沿y軸平移后經過點C,求平移后所得圖象的函數關系式;
(3)設(2)中平移后,所得拋物線與y軸的交點為B1,頂點為D1,若點N在平移后的拋物線上,且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍,求點N的坐標.

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(2)將△OAB繞點A順時針旋轉90°后,點B落到點C的位置,將拋物線沿y軸平移后經過點C,求平移后所得圖象的函數關系式;
(3)設(2)中平移后,所得拋物線與y軸的交點為B1,頂點為D1,若點N在平移后的拋物線上,且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍,求點N的坐標.

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(2)將△OAB繞點A順時針旋轉90°后,點B落到點C的位置,將拋物線沿y軸平移后經過點C,求平移后所得圖象的函數關系式;
(3)設(2)中平移后,所得拋物線與y軸的交點為B1,頂點為D1,若點N在平移后的拋物線上,且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍,求點N的坐標.

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