Question

填空：
（1）2¹-2⁰=______=2；2²-2¹=______=2；2³-2²=______=2
（2）請用字母表示第n個等式，并驗證你的發現．
（3）利用（2）中你的發現，求2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰的值．

Answer 1

解：（1）2¹-2⁰=1=2⁰；2²-2¹=2=2¹；2³-2²=4=2²；

（2）2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n為正整數）；

（3）∵2¹-2⁰=2⁰，
2²-2¹=2¹，
2³-2²=2²，
…
2²⁰-2¹⁹=2¹⁹，
∴2²⁰-2⁰=2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰，
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰的值為2²⁰-1．
故答案為1，2⁰；2，2¹；4，2²．
分析：（1）根據0次冪的意義和乘方的意義進行計算；
（2）觀察各等式得到2的相鄰兩個正整數冪的差等于2的較小的正整數次冪，即2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n為正整數）；
（3）由于2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，…2²⁰-2¹⁹=2¹⁹，然后把等式左邊與左邊相加，右邊與右邊相加即可求解．
點評：本題考查了規律型：數字的變化類：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法．