Question

如圖，第一象限內半徑為2的⊙C與y軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交x軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：y=kx+3．
（1）設點P的縱坐標為p，寫出p隨變化的函數關系式．
（2）設⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP．請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；
（3）是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線的性質知∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，所以可以判定四邊形OADB是矩形；根據⊙O的半徑是2求得直徑AD=4，從而求得點P的坐標，將其代入直線方程y=kx+3即可知p變化的函數關系式；
（2）連接DN．∵直徑所對的圓周角是直角，∴∠AND=90°，∴根據圖示易證∠AND=∠ABD；然后根據同弧所對的圓周角相等推知∠ADN=∠AMN，再由等量代換可知∠ABD=∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA證明△AMN∽△ABP；
（3）存在．把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3，然后由勾股定理求得AB=5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面積比．分兩種情況進行討論：①當點P在B點上方時，由相似三角形的面積比得到k²-4k-2=0，解關于k的一元二次方程；②當點P在B點下方時，由相似三角形的面積比得到k²+1=-（4k+3），解關于k的一元二次方程．
解答：解：（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線，
∴OA⊥AD，BD⊥AD；
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四邊形OADB是矩形；
∵⊙C的半徑為2，
∴AD=OB=4；
∵點P在直線l上，
∴點P的坐標為（4，p）；
又∵點P也在直線AP上，
∴p=4k+3；

（2）連接DN．
∵AD是⊙C的直徑，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
又∵∠ADN=∠AMN，
∴∠ABD=∠AMN（4分）
∵∠MAN=∠BAP（5分）
∴△AMN∽△ABP（6分）

（3）存在．（7分）
理由：把x=0代入y=kx+3得：y=3，即OA=BD=3，
AB=，
∵S_△ABD=AB•DN=AD•DB
∴DN==，
∴AN²=AD²-DN²=，
∵△AMN∽△ABP，
∴，即（8分）
當點P在B點上方時，
∵AP²=AD²+PD²=AD²+（PB-BD）²=4²+（4k+3-3）²=16（k²+1），
或AP²=AD²+PD²=AD²+（BD-PB）²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），
S_△ABP=PB•AD=（4k+3）×4=2（4k+3），
∴，
整理得：k²-4k-2=0，
解得k₁=2+，k₂=2-（9分）
當點P在B點下方時，
∵AP²=AD²+PD²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），S_△ABP=PB•AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3）
∴
化簡得：k²+1=-（4k+3），解得：k=-2，
綜合以上所得，當k=2±或k=-2時，△AMN的面積等于（10分）
點評：本題主要考查了梯形的性質，矩形的判定，相似三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據P點的不同位置進行分類求解．