Question

如圖,在平面直角坐標系中,A(-3,0)，點C在y軸的正半軸上，BC∥x軸，且BC=5,AB交y軸于點D，OD=．

（1）求出點C的坐標；

（2）過A、C、B三點的拋物線與x軸交于點E，連接BE．若動點M從點A出發沿x軸向x軸正方向運動，同時動點N從點E出發，在直線EB上作勻速運動，兩個動點的運動速度均為每秒1個單位長度，請問當運動時間t為多少秒時，△MON為直角三角形?

 

Answer 1

【答案】

 

（1）（0,4）

（2）當、或時，△MON為直角三角形

【解析】解：（1）∵ BC∥x軸，

∴ △BCD∽△AOD．

∴ ．  ∴ ．

∴ ．

∴ C點的坐標為 (0，4) ．  ……………………… 1分

（2）如圖1，作BF⊥x軸于點F，則BF= 4．

由拋物線的對稱性知EF=3．

∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分

根據點N運動方向，分以下兩種情況討論：

① 點N在射線EB上．

若∠NMO=90°，如圖1，則cos∠BEF=,

∴，解得．……………… 3分

若∠NOM=90°，如圖2，則點N與點G重合．

∵ cos∠BEF=，   

∴ ，解得． …………………… 4分

∠ONM=90°的情況不存在． …………………………… 5分

② 點N在射線EB的反向延長線上．

若∠NMO=90°，如圖3，則cos∠NEM= cos∠BEF，

∴ ．

∴ ，解得．  …………………… 6分

而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情況不存在．…… 7分

綜上，當、或時，△MON為直角三角形．