Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折疊CE=5

5

，且tan∠EDA=

3

4

．
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；
（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）△OCD與△ADE相似．
理由如下：
由折疊知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EOA．
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE．

（2）∵tan∠EDA=

AE

AD

=

3

4

，
∴設AE=3t，則AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得

OC

AD

=

CD

DE

，
∴

8t

4t

=

CD

5t

，
∴CD=10t．
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5

5

）²，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），
點E的坐標為（10，3），
設直線CE的解析式為y=kx+b，
∴

10k+b=3 b=8

，
解得

k=- 1 2 b=8

∴y=-

1

2

x+8，則點P的坐標為（16，0）．

（3）滿足條件的直線l有2條：y₁=-2x+12，y₂=2x-12．
如圖：準確畫出兩條直線．