Question

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題：
如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
作法如下：如（1）圖，從B出發向河岸引垂線，垂足為D，在AP的延長線上，取B關于河岸的對稱點B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
（1）觀察發現
再如（2）圖，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF，在線段EF上找一點P，使BP+AP最短．
作點B關于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為

 

．

（2）實踐運用
如（3）圖，已知⊙O的直徑MN=1，點A在圓上，且∠AMN的度數為30°，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上運動，求BP+AP的最小值．

（3）拓展遷移
如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
①求這條拋物線所對應的函數關系式；
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）根據軸對稱中最短路線問題，可以得出AC的長即為BP+AP的最小值，利用三角函數關系求出即可；
（2）根據軸對稱中最短路線問題，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP的最小值，求出即可；
（3）運用待定系數法求二次函數解析式，再求出直線與坐標軸的交點坐標，當AM+CM取最小值時，△ACM周長最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．

解答：解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=

AB

AC

，
∴AC=

2

3 3

=2

3

，
故答案為：2

3

；

（2）如圖，作點A關于MN的對稱點A′，則A′在⊙O上，
連接BA′交MN于P′點，此時BP′+AP′最小．
由對稱性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
連接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
則∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而點B為弧AN中點，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1，
∴在Rt△OA′B中，A′B=

2

2

即BP+AP的最小值

2

2

．

（3）①∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0）、
C（0，-3）兩點，分別代入二次函數解析式得：
∴

- b 2a =1 a-b+c=0 c=-3

，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函數解析式為：y=x²-2x-3，
②得到直線BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的長為：

10

，
∴△ACM周長最小值即是：AM+CM最小時的值，
∵AM+CM=BC=3

2

，
∴△ACM周長最小值為：

10

+3

2

．

點評：此題主要考查了軸對稱中最短路線問題以及圓周角定理和二次函數解析式的求法等知識，題目綜合性較強，利用軸對稱求最小值問題，是近幾年中考中熱點問題，應該引起同學們的注意．