Question

（2009•江津區）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）若DC=6，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰梯形在同一底上的兩個角相等和角平分線的定義，可以求得∠ACB=30°，從而證明結論；
（2）過點A作AE⊥BC于E，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半，求得BC=2AB=12，BE=3，再根據勾股定理求得AE的長，進而求得梯形的面積．
解答：（1）證明：∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=60°，∠DAC=∠ACB．
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB=60°÷2=30°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴AB⊥AC．

（2）解：過點A作AE⊥BC于E，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
又∵AB=DC=6，
∴BE=3，
∴AE===3，
∵∠ACB=30°，AB⊥AC，
∴BC=2AB=12，
∴S_梯=（AD+BC）•AE=（6+12）•3=27．
點評：此題主要是能夠構造30°的直角三角形進行計算．