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如圖,已知△ABC是面積為的等邊三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC與DE相交于點F,則△AEF的面積等于多少?(結果保留根號).

【答案】分析:先根據AB=2AD,△ABC∽△ADE,△ABC是面積為求出△ADE的面積,再判斷出△ADE的形狀,根據等邊三角形的面積求出AE的長,作FG⊥AE于G,由等邊三角形及直角三角形的性質判斷出△AFG是等腰直角三角形,設AG=FG=h,在直角三角形FGE中利用銳角三角函數的定義即可求出h的值,根據三角形的面積公式即可得出結論.
解答:解:∵AB=2AD,
=2,
又∵△ABC∽△ADE,△ABC是面積為,
=4,
∴S△ADE=
∵△ABC∽△ADE,△ABC是等邊三角形,
∴△ADE也是等邊三角形,其面積為AE•AE•sin60°=
AE2=
∴AE=1,
作FG⊥AE于G,
∵∠BAD=45°,∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠EAF=45°,
∴△AFG是等腰直角三角形,
設AG=FG=h,在直角三角形FGE中,
∵∠E=60°,EG=1-h,FG=h,
∴tan∠E=,即tan60°=,解得h=,
∴S△AEF=×1×=
點評:本題考查的是相似三角形的性質及等邊三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定,根據題意作出輔助線,構造出等腰直角三角形是解答此題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知△ABC是邊長為4的正三角形,AB在x軸上,點C在第一象限,AC與y軸交于點D,點A精英家教網的坐標為(-1,0).
(1)寫出B,C,D三點的坐標;
(2)若拋物線y=ax2+bx+c經過B,C,D三點,求此拋物線的解析式.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知△ABC是等邊三角形,AB交⊙O于點D,DE⊥AC于點E.
(1)求證:DE為⊙O的切線.
(2)已知DE=3,求:弧BD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知△ABC是等邊三角形,E是AC延長線上一點,選擇一點D,使得△CDE是等邊三角形,如果M是線段AD的中點,N是線段BE的中點,
求證:△CMN是等邊三角形.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•襄城區模擬)如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.
(1)求證:△BCE≌△FDC;
(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•奉賢區二模)如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D是BC延長線上的一個動點,以AD為邊作等邊△ADE,過點E作BC的平行線,分別交AB,AC的延長線于點F,G,聯結BE.
(1)求證:△AEB≌△ADC;
(2)如果BC=CD,判斷四邊形BCGE的形狀,并說明理由.

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