Question

某市石化乙烯廠某車間生產甲、乙兩種塑料的相關信息如下表，請你解答下列問題：
（1）設該車間每月生產甲、乙兩種塑料各x噸，利潤分別為y₁元和y₂元，分別求y₁和y₂與x的函數關系式（注：利潤=總收入-總支出）；
（2）已知該車間每月生產甲、乙兩種塑料均不超過400噸，若某月要生產甲、乙兩種塑料共700噸，求該月生產甲、乙塑料各多少噸，獲得的總利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為利潤=總收入-總支出，由表格可知，y₁=（2100-800-200）x=1100x，y₂=（2400-1100-100）x-20000=1200x-20000；
（2）可設該月生產甲種塑料x噸，則乙種塑料（700-x）噸，總利潤為W元，建立W與x之間的解析式，又因甲、乙兩種塑料均不超過400噸，所以x≤400，700-x≤400，這樣就可求出x的取值范圍，然后再根據函數中y隨x的變化規律即可解決問題．
解答：解：（1）依題意得：y₁=（2100-800-200）x=1100x，（3分）
y₂=（2400-1100-100）x-20000=1200x-20000，（6分）

（2）設該月生產甲種塑料x噸，則乙種塑料（700-x）噸，總利潤為W元，依題意得：
W=1100x+1200（700-x）-20000=-100x+820000．（7分）
∵解得：300≤x≤400．（8分）
∵-100＜0，
∴W隨著x的增大而減小，
∴當x=300時，W_最大=790000（元）．（9分）
此時，700-x=400（噸）．
因此，生產甲、乙塑料分別為300噸和400噸時總利潤最大，最大利潤為790000元． （10分）
點評：本題需仔細分析表格中的數據，建立函數解析式，值得一提的是利用不等式組求自變量的取值范圍，然后再利用函數的變化規律求最值這種方法．