Question

（2003•徐州）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F，得四邊形DECF，設DE=x，DF=y．
（1）用含y的代數式表示AE，得AE=______；
（2）求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（3）設四邊形DECF的面積為S，求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；
（2）根據相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC再根據相似三角形的對應邊對應成比例從而求得；
（3）根據二次函數求解．
解答：解：（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；

（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）S=xy=x（8-2x）=-2（x-2）²+8，
∴當x=2時，S=-2（2-2）²+8，即S有最大值8．
點評：考查了學生對相似三角形的判定和性質，及二次函數的應用等知識點的掌握情況．