Question

【題目】如圖，已知：拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，連接，，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸交與點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）G是拋物線(xiàn)上，之間的一點(diǎn)，且，求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在拋物線(xiàn)上，之間是否存在一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)；（3）存在，或．

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B坐標(biāo)即可得到拋物線(xiàn)的解析式，將配成頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)；

（2）設(shè)，待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，求出DF，得到△BCD的面積，根據(jù)，得到，待定系數(shù)法求出BD解析式，從而表達(dá)出△BDG的面積，列出方程即可解答；

（3）以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，則以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，①當(dāng)△PCB∽△BDE，②當(dāng)△CPB∽△BDE，利用相似比解出BP，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及直線(xiàn)CP的解析式，聯(lián)立方程組即可求出M的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，

∴，

解得．

所以，拋物線(xiàn)的解析式為；

∴；

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）連接，

令，則，

所以，點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=ax+d，

將，代入得，解得a=1，d=-3；

∴直線(xiàn)的解析式為，

設(shè)直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)，

時(shí)，，

所以，點(diǎn)，

所以，，

∴，

∵，

∴，

設(shè)過(guò)點(diǎn)與軸平行的直線(xiàn)相交于點(diǎn)，直線(xiàn)的解析式為，

則，

解得，

所以，直線(xiàn)的解析式為，

設(shè)，

則，

所以，，

整理得，，

解得，

，

所以，點(diǎn)；

（3）存在

由勾股定理得，，

如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)點(diǎn)作軸于，

∵，

∴，

∵，，，

∴、與軸的夾角都是45°，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，

∴以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，

①當(dāng)△PCB∽△BDE

∴，即

解得，

∴，

所以，，

所以，點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，

則，

解得，

所以，直線(xiàn)的解析式為，

聯(lián)立，

解得（舍去），，

所以，點(diǎn)，

②當(dāng)△CPB∽△BDE

∴，即

解得，

∴，

所以，，

所以，點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，

則，

解得，

所以，直線(xiàn)的解析式為，

聯(lián)立，

解得（舍去），，

∴點(diǎn)，

綜上所述，存在點(diǎn)或，使、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．